Hacía tiempo, allá por mis tiempos estudiantiles [suspiro], que no recordaba la famosa paradoja de la demostración matemática falsa. El más claro ejemplo de ello consiste en la demostración, aparentemente correcta, de que “2 = 1″, la cual nos deja siempre asombrados a primera vista hasta que, finalmente, nos damos cuenta señalan un error tan complicado de ver que practicamente nadie aprecia. Es como un truco de magia en el que, de repente, descubrimos el truco. Y sin más dilación, demostremos que 2 = 1, a partir de una sencilla afirmación (a = b):

a = b
a² = ab
a² - b² = ab - b²
(a - b)(a + b) = b(a - b)
a + b = b
b + b = b
2b = b
2 = 1

¿Cómo? ¿Y eso? La explicación, que no es tan sencilla de ver, sí que resulta trivial, y es que en el paso de la línea tres a la cuatro, al dividir los dos miembros de la ecuación entre (a - b), estamos obviando la situación de que , si a = b, estamos dividiendo entre cero (a - b = 0), y esto es imposible de predecir, ya que es una indeterminación que invalida toda la demostración. Aún así, practicamente todo el mundo queda inicialmente prendado de ella y cree a pies juntillas este tipo de verdades.

En Genciencia nos ofrecen más detalles y anécdotas curiosas:

Se cuenta que en una ocasión el filósofo y matemático Bertrand Russell estaba especulando sobre enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa un filósofo escéptico le preguntó: “¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?” Russell contestó afirmativamente demostrándolo del siguiente modo: “Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa”.

De esta forma Rusell enfatiza su afirmación sobre las posibles erróneas conclusiones que se pueden llevar a cabo a partir de una hipótesis falsa. Por ello es muy importante saber qué estamos haciendo en cada momento cuando estamos resolviendo o intentando demostrar algo, pues algo falso puede llevarnos a cualquier parte. Por ello no debemos de dar por hecho nada, pues tomar como verdadero algo no significa que lo sea.

El presidente norteamericano Abraham Lincoln propuso en una ocasión la siguiente adivinanza: Si el rabo de un perro se llamase pata, ¿cuántas patas tendría un perro? La respuesta de Lincoln fue: “Cuatro, el llamar pata al rabo no significa que lo sea.”

Y es que en matemáticas existen infinidad de métodos para demostrar una determinada afirmación, algunos científicos y algunos no tanto, como los que muestran en este post de Gaussianos, entre los que destaco los siguientes:

• Demostración por Acuerdo General: “¿Todos a favor?”
• Demostración por Necesidad: “Tendría que ser cierto o la estructura completa de las Matemáticas se derrumbaría.”
• Demostración por Verosimilitud: “Suena muy bien. Por tanto debe ser cierto.”
• Demostración por Definición: “Lo definiremos para que sea cierto.”
• Demostración por Lógica: “Si está en la hoja de problemas entonces debe ser cierto.”
• Demostración por Testarudez: “¡No me importa lo que digas! ¡Es cierto!”
• Demostración por Intervención Divina: “Entonces un milagro ocurre y…”

Este chiste gráfico, publicado en Science Cartoons Plus, ilustra perfectamente el último de los mencionados métodos:

Conclusión: está claro que no podemos fiarnos de lo que nos es impuesto (aplíquese todo lo expuesto en este artículo a nuestra realidad política y social). Saca tus propias conclusiones ;)

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